Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA₁=AB=2，四棱锥B-AA₁C₁D的体积为3．
（1）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（2）求二面角C-BC₁-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲证AB₁∥平面BC₁D，只需证明AB₁平行平面BC₁D中的一条直线，利用三角形的中位线平行与第三边，构造一个三角形AB1C，使AB₁成为这个三角形中的边，而中位线OD恰好在平面BC₁D上，就可得到结论．
（2）先根据AA₁=AB=2，四棱锥B-AA₁C₁D的体积为3，求出BC长，利用三垂线定理，取BC中点M，连接DM，DM⊥平面BCC₁，作MN⊥NC₁与N，连接DN，则DN⊥BC₁，则∠DNM为二面角C-BC₁-D的平面角．再把角∠DNM放到三角形DMN中求出正切值即可．

解答：解：（1）证明：连接B₁C，设B₁C与BC₁相交于点O，连接OD，
∵四边形BCC₁B是平行四边形，∴点O为B₁C的中点，
∵D为AC的中点，∴OD为△AB₁C的中位线，∴OD∥AB₁，
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，∴AB₁∥平面BC₁D
（2）依题意知，AB=BB₁=2，∵AA₁⊥底面ABC，AA₁?底面AA₁C₁C，
∴平面ABC⊥平面AA₁C₁C，且平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC
作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA₁C₁C．
设BC=a，在Rt△ABC中，BE=

AB•BC

AC

=

2a

4+a2

∴四棱锥B-AA₁C₁D的体积V=

1

3

×

1

2

（A₁C₁+AD）•AA₁•BE=a=3，即BC=3
取BC中点M，连接DM，DM⊥平面BCC₁，作MN⊥NC₁与N，连接DN，则DN⊥BC₁，
∠DNM为二面角C-BC₁-D的平面角．
在△DMN中，DM=1，MN=

3

13

，tan∠DNM=

13

3

，
∴二面角C-BC₁-D的正切值为

13

3

点评：本题考察了线面平行判定定理的应用和二面角的作法和求法，解决二面角问题是要按照一作二证三计算的步骤，准确规范解题