【题目】设函数,(
).
(1)若曲线在点
处的切线方程为
,求实数am的值;
(2)关于x的方程能否有三个不同的实根?证明你的结论;
(3)若对任意
恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1),
.(2)不可能有三个不同的实根,证明见解析. (3)
【解析】
(1)求导根据导数等于斜率,过点计算得到答案.
(2)讨论,
得到
在
至多1个实根,得到答案.
(3)不等式等价于,令
,则
,根据单调性得到答案.
(1),则
,故
,
,
解得,
.
(2)不可能有三个不同的实根,证明如下:
令,
如果有三个不同的实根,则
至少要有三个单调区间,
则至少两个不等实根,所以只要证明
在
至多1个实根,
,
,
1°当时,
,
,∴
,∴
在
单调递增,∴
在
至多1个实根;
2°当时,
,∴
在
单调递增,
∴,又因为
时
,∴
,
∴在
没有实根
综合1°2°可知,在
至多1个实根,所以得证.
(3)∵对任意
恒成立,且
,
∴对任意
恒成立,
∴对任意
恒成立,
令,
则对任意
恒成立,
∵时
,且
,
,
∴在
单调递增∴
在
恒成立,
∴.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,过椭圆右焦点
的直线
与椭圆交于
,
两点,当直线
与
轴垂直时,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当直线与
轴不垂直时,在
轴上是否存在一点
(异于点
),使
轴上任意点到直线
,
的距离均相等?若存在,求
点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,四边形ABCD是矩形,平面ABCD⊥平面BCE,BE⊥EC.
(1)求证:平面AEC⊥平面ABE;
(2)点F在BE上.若DE∥平面ACF,求的值.
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【题目】三棱锥P ABC中,PA⊥平面ABC,Q是BC边上的一个动点,且直线PQ与面ABC所成角的最大值为
则该三棱锥外接球的表面积为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】如图所示,已知椭圆:(
)的离心率为
,右准线方程是直线l:
,点P为直线l上的一个动点,过点P作椭圆的两条切线
,切点分别为AB(点A在x轴上方,点B在x轴下方).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)①求证:分别以为直径的两圆都恒过定点C;
②若,求直线
的方程.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点A、B为椭圆C的左右顶点,直线与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A、B的动点,直线AP、BP分别交直线
于E、F两点,当点P在椭圆C上运动时,
是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
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