Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，定义y=f″（x）是函数y=f′（x）的导函数．若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现：任何一个三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．根据这一发现，对于函数g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，则g（

1

2013

）+g（

2

2013

）+f（

3

2013

）+…+g（

2012

2013

）的值为

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函数g（x）的对称中心，得到g（1-x）+g（x）=2，即可得出．

解答： 解：依题意，得：f′（x）=x²-x+3，∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=

1

2

，
∴f（

1

2

）=1，
∴g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的对称中心为（

1

2

，1）
∴g（1-x）+g（x）=2，
∴g（

1

2013

）+g（

2

2013

）+f（

3

2013

）+…+g（

2012

2013

）=2012．
故答案为：2012．

点评：本题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，函数的对称性的应用，属于中档题．