Question

如图，在四棱锥中，//，，，，平面平面．

（1）求证：平面平面；

（2）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．

 

Answer 1

（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）证明面面垂直的基本思路，是在其中一个面内，找一条直线垂直于另一个平面内两条相交直线，本题只需证明ED⊥PA，ED⊥AC即可；（2）重点是找二面角的平面角，即在两个面内分别找垂直于交线的直线，然后构造三角形求解。当然，利用空间向量也是解决本题的好办法。

试题解析：法一（1）取中点，连接，则，

∴四边形是平行四边形，∴//

∵直角△和直角△中，

∴直角△直角△，易知

∴

∵平面平面，平面平面

∴平面

∴，

∵

∴平面.

∴平面平面.

（2）设交于，连接，则是直线与平面所成的角.设

由△△，知，

∵

∴，

∵∴，

作于，由，知平面，

∴，

∴是二面角的平面角.

∵△△，

∴，而

∴

∴，

∴，

即二面角的平面角的余弦值为.

法二：（1）∵平面平面，

平面平面，

∴平面

又∵，故可如图建立空间直角坐标系

由已知，，，（）

∴，，

∴，，

∴，，

∴平面

∴平面平面

（2）由（1），平面的一个法向量是，

设直线与平面所成的角为，

∴，

∵

∴，即

设平面的一个法向量为，，

由，

∴，令，则

∴，

显然二面角的平面角是锐角，

∴二面角的平面角的余弦值为

考点：空间几何体，线面位置关系