Question

2．已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．若存在不同时为零的实数k和t，使x=4$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$，y=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$，且x⊥y．求k=f（t）的解析式．

Answer 1

分析 首先求得${\stackrel{?}{a}}^{2}，{\stackrel{?}{b}}^{2}，\stackrel{?}{a}?\stackrel{?}{b}$的值，然后利用向量垂直的充要条件可知两向量的数量积等于0，据此整理计算即可求得最终结果．

解答 解：由题意可得：${\stackrel{?}{a}}^{2}=3+1=4，{\stackrel{?}{b}}^{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1，\stackrel{?}{a}?\stackrel{?}{b}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$，
利用平面向量的运算法则有：
$\stackrel{?}{x}?\stackrel{?}{y}=[4\stackrel{?}{a}+（{t}^{2}-3）\stackrel{?}{b}]?（-k\stackrel{?}{a}+t\stackrel{?}{b}）$=$-4k{\stackrel{?}{a}}^{2}+（4t-k{t}^{2}+3k）\stackrel{?}{a}?\stackrel{?}{b}+（{t}^{3}-3t）{\stackrel{?}{b}}^{2}$，
结合$\stackrel{?}{x}⊥\stackrel{?}{y}$有：$\stackrel{?}{x}?\stackrel{?}{y}=-4k×4+{t}^{3}-3t=0$，
整理可得：$k=f（t）=\frac{{t}^{3}-3t}{16}$．

点评 本题考查平面向量问题，涉及的知识点包括平面向量数量积的坐标运算，平面向量垂直的充要条件等．