Question

2．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且$c=\sqrt{3}bsinC-ccosB$．
（1）求角B的大小；
（2）若$b=2\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简可得角B的大小，
（2）法一：由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，利用基本不等式求解最值，即12=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤12（当且仅当a=c时取等号），
方法二：由正弦定理，消边化为角，化简只有一个角，利用三角函数的有界限求解最值．
方法三：由正弦定理，消边化为角，利用和与差的关系求出A，C关系，利用三角函数的有界限求解最值．

解答 解析：（1）由$c=\sqrt{3}bsinC-ccosB$及正弦定理可得：$sinC=\sqrt{3}sinBsinC-sinCcosB$，
又∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴$\sqrt{3}sinB-cosB=1$，即$\sqrt{3}sinB-cosB=2（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinB-\frac{1}{2}cosB}）$=$2（{sinBcos\frac{π}{6}-cosBsin\frac{π}{6}}）=2sin（{B-\frac{π}{6}}）=1，\;∴sin（{B-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，
∵$-\frac{π}{6}＜B-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$B-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，
可得B=$\frac{π}{3}$
（2）法一：由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∵12=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤12（当且仅当a=c时取等号），
∴三角形面积S=$\frac{1}{2}acsinB=\frac{\sqrt{3}}{4}ac≤3\sqrt{3}$
即△ABC面积的最大值为$3\sqrt{3}$．
（2）方法二：由正弦定理可得：$a=\frac{b}{sinB}sinA=4sinA，\;\;c=\frac{b}{sinB}sinC=4sinC$，
∴三角形面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=4$\sqrt{3}$sinAsinC
$\begin{array}{l}=4\sqrt{3}sinAsin（\frac{2π}{3}-A）=4\sqrt{3}sinA（{sin\frac{2π}{3}cosA-cos\frac{2π}{3}sinA}）\\=4\sqrt{3}sinA（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA}）=4\sqrt{3}（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinAcosA+\frac{1}{2}{{sin}^2}A}）\\=2\sqrt{3}（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2A-\frac{1}{2}cos2A}）+\sqrt{3}=2\sqrt{3}sin（{2A-\frac{π}{6}}）+\sqrt{3}\end{array}$
当$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$A=\frac{π}{3}$时，△ABC的面积取到最大值$3\sqrt{3}$．
（2）方法三：由正弦定理可得：$a=\frac{b}{sinB}sinA=4sinA，\;\;c=\frac{b}{sinB}sinC=4sinC$，
∴三角形面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=4$\sqrt{3}$sinAsinC=2$\sqrt{3}$[cos（A-C）-cos（A+C）]
=$2\sqrt{3}[{cos（A-C）-cos\frac{2π}{3}}]=2\sqrt{3}[{cos（{A-C}）+\frac{1}{2}}]$，
当且仅当A-C=0，即$A=C=\frac{π}{3}$时，△ABC的面积取到最大值$3\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于中档题．