Question

13．函数$f（x）=lnx+\frac{k}{x}（k∈R）$．若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x-2=0垂直，则f（x）的极小值（其中e为自然对数的底数）等于2．

Answer 1

分析 先利用导数的几何意义求出k的值，然后利用导数求该函数单调区间及其极值．

解答 解：由函数$f（x）=lnx+\frac{k}{x}（k∈R）$得f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$．
∵曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x-2=0垂直，
∴此切线的斜率为0．
即f′（e）=0，有$\frac{1}{e}$-$\frac{k}{{e}^{2}}$=0，解得k=e．
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{x}^{2}}$=$\frac{x-e}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＜0得0＜x＜e，由f′（x）＞0得x＞e．
∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
当x=e时f（x）取得极小值f（e）=lne+$\frac{e}{e}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查导数的几何意义以及两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．