Question

8．已知a∈R，函数f（x）=e^x-a（x+1）的图象与x轴相切．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x＞0时，f（x）＞mx²，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，设出切点的坐标，求出函数的解析式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-mx²，求出函数的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性确定m的范围．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x-a，依题意，设切点为（x₀，0），
则$\left\{\begin{array}{l}f（{x_0}）=0\\ f'（{x_0}）=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{e^{x_0}}-a（{x_0}+1）=0\\{e^{x_0}}-a=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=0\\ a=1\end{array}\right.$…（3分）
所以f'（x）=e^x-1，所以，当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．
所以，f（x）的单调递减区间为（-∞，0），单调递增区间为（0，+∞）． …（5分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-mx²，则g'（x）=e^x-2mx-1，
令h（x）=g'（x），则h'（x）=e^x-2m，…（7分）
（ⅰ）若$m\;≤\;\frac{1}{2}$，因为当x＞0时，e^x＞1，所以h'（x）＞0，
所以h（x）即g'（x）在[0，+∞）上单调递增．
又因为g'（0）=0，所以当x＞0时，g'（x）＞g'（0）=0，从而g（x）在[0，+∞）上单调递增，
而g（0）=0，所以g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞mx²成立． …（9分）
（ⅱ）若$m＞\frac{1}{2}$，令h'（x）=0，解得x=ln（2m）＞0，
当x∈（0，ln（2m）），h'（x）＜0，所以h（x）即g'（x）在[0，ln（2m））上单调递减，
又因为g'（0）=0，所以当x∈（0，ln（2m））时，g'（x）＜0，
从而g（x）在[0，ln（2m））上单调递减，
而g（0）=0，所以当x∈（0，ln（2m））时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＞mx²不成立．
综上所述，m的取值范围是$（-∞，\frac{1}{2}]$．            …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．