Question

18．已知函数f（x）=e^x-alnx+b，x＞0，其中a＞0，b∈R．
（1）若a=b=1，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）证明：存在唯一的正实数x₀，使函数f（x）在x₀处取得极小值；
（3）若a+b=0，且函数f（x）有2个互不相同的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到切线的斜率，然后求解切线方程；
（2）利用函数的导数，求解函数的单调性，然后求解函数的极小值，推出结果．
（3）a+b=0，求出函数的导数$f'（x）={e^x}-\frac{a}{x}=\frac{{x{e^x}-a}}{x}$，利用函数的极小值，得到$f（{x_0}）={e^{x_0}}-aln{x_0}-a={e^{x_0}}（1-{x_0}ln{x_0}-{x_0}）$，设r（x）=1-xlnx-x，x＞0利用函数的导数以及函数h（x）=xe^x-a在区间（0，+∞）上单调递增，通过（ⅰ）当0＜a≤e时，（ⅱ）当a＞e时，利用单调性推出f（x）在区间上（0，x₀）上有唯一的零点，f（a）=e^a-alna-a，a＞e，设t（a）=e^a-alna-a，a＞e，然后通过导数以及函数的极值，推出函数f（x）有2个互不相同的零点时，实数a的取值范围为（e，+∞）．

解答 解：∵f（x）=e^x-alnx+b，
∴$f'（x）={e^x}-\frac{a}{x}$，
（1）∵a=b=1，
∴f（x）=e^x-lnx+1，$f'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，…（2分）
∴切点为（1，f（1）），即（1，e+1），切线的斜率为f'（1），即切线的斜率为e-1，
∴函数f（x）在x=1处的切线方程为y-（e+1）=（e-1）（x-1），
即y=（e-1）x+2．   …（4分）
（2）令f'（x）=0，得xe^x-a=0，
设h（x）=xe^x-a，x＞0，
∴h'（x）=（x+1）e^x＞0，∴h（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
∵h（0）=-a＜0，h（a）=a（e^a-1）＞0，
∴h（0）h（a）＜0，且h（x）在区间（0，+∞）上的图象不间断，
∴存在唯一的x₀∈（0，a），使h（x₀）=0，…（6分）

x	（0，x0）	x0	（x0，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	减	极小	增

∴存在唯一的x₀∈（0，+∞），使函数f（x）在x=x₀处取得极小值．           …（8分）
（3）∵a+b=0，∴f（x）=e^x-alnx-a，x＞0，∴$f'（x）={e^x}-\frac{a}{x}=\frac{{x{e^x}-a}}{x}$，
由（2）可得：函数f（x）的极小值为f（x₀），且${x_0}{e^{x_0}}-a=0$，
∴$f（{x_0}）={e^{x_0}}-aln{x_0}-a={e^{x_0}}（1-{x_0}ln{x_0}-{x_0}）$，
设r（x）=1-xlnx-x，x＞0，∴r'（x）=-lnx-2，
∴当0＜x＜e^-2时，r'（x）＞0，当x＞e^-2时，r'（x）＜0，…（10分）
由（2）可得：函数h（x）=xe^x-a在区间（0，+∞）上单调递增，
（ⅰ）当0＜a≤e时，
∵$a={x_0}{e^{x_0}}≤e$，∴h（x₀）≤h（1），∴0＜x₀≤1，
∴$f（{x_0}）={e^{x_0}}[（1-{x_0}）-（{x_0}ln{x_0}）]＞0$，
∴当x＞0，f（x）＞0，无零点，…（12分）
（ⅱ）当a＞e时，
∵$a={x_0}{e^{x_0}}＞e$，∴h（x₀）＞h（1），∴x₀＞1，
∵r（x）=1-xlnx-x在区间（1，+∞）上单调递减，
∴r（x₀）＜r（1）=0，
∴$f（{x_0}）={e^{x_0}}r（{x_0}）＜0$，
∵$f（\frac{1}{a}）={e^{\frac{1}{a}}}-aln\frac{1}{a}-a={e^{\frac{1}{a}}}+a（lna-1）＞0$，其中$0＜\frac{1}{a}＜{x_0}$，
∴$f（\frac{1}{a}）f（{x_0}）＜0$，且函数f（x）在区间上（0，x₀）单调递减，图象不间断，
∴f（x）在区间上（0，x₀）上有唯一的零点，
又∵f（a）=e^a-alna-a，a＞e，
设t（a）=e^a-alna-a，a＞e，∴t'（a）=e^a-lna-2，
∵$（{e^a}-lna-2）'={e^a}-\frac{1}{a}＞{e^e}-\frac{1}{e}＞0$，∴t'（a）=e^a-lna-2在区间（e，+∞）上单调递增，
∴t'（a）＞t'（e）=e^e-3＞0，∴t（a）=e^a-alna-a在区间（e，+∞）上单调递增，
∴t（a）＞t（e）=e^e-2e＞0，即f（a）＞0，
又∵$a={x_0}{e^{x_0}}＞{x_0}$，
∵f（x₀）f（a）＜0，且函数f（x）在区间上（x₀，+∞）单调递增，图象不间断，
∴f（x）在区间上（x₀，+∞）上有唯一的零点，
综上所述：函数f（x）有2个互不相同的零点时，实数a的取值范围为（e，+∞）．…（16分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及单调性，构造法的应用，考查计算能力以及转化思想分类讨论思想的应用．