Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n，求其通项a_n．

Answer 1

分析 S_n=n²a_n，可得n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$．利用a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁，即可得出．

解答 解：∵S_n=n²a_n，∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=$\frac{n-1}{n+1}$$•\frac{n-2}{n}•\frac{n-3}{n-1}$•…•$\frac{2}{4}•\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{n（n+1）}$．
n=1时也成立．
∴a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．

点评 本题考查了数列递推关系、通项公式、“累乘求积方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．