Question

18．如果存在常数A，对于数列{a_n}中任意一项a_i（i∈N^*），A-a_i也是数列{a_n}中的一项，称数列{a_n}具有D性质，常数A是它的D性系数．
（I）若数列：2，3，6，m（m＞6）具有D性质，且它的D性系数为A，求m和A的值．
（II）已知等差数列{b_n}共有101项，所有项之和是S，求证：数列{b_n}具有D性质，并用S表示它的D性系数．
（III）对于一个不少于3项，且各项均为正整数的等比数列{c_n}，能否同时满足：①对于任意的正整数i，j，当i＜j有，有c_i＜c_j；②具有D性质．请给出你的结论，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列：2，3，6，m（m＞6）具有D性质，且它的D性系数为A，所以A-m，A-6，A-3，A-2也是该数列的项，且A-m＜A-6＜A-3＜A-2，由此可求m和A的值；
（Ⅱ）由“数列具有D性质”的定义证明数列{b_n}是“数列具有D性质”，即证对数列{b_n}中的任意一项b_i（1≤i≤101），A-b_i=b₁+（101-i）d=b_102-i∈{b_n}，从而可求数列{b_n}所有项之和；
（Ⅲ）假设存在这样的等比数列{c_n}，设它的公比为q（q＞1），可知数列{c_n}必为有穷数列，不妨设项数为n项，则c_i+c_n+1-i=A（1≤i≤n），再分类讨论，即可得到结论．

解答 （Ⅰ）解：因为2，3，6，m（m＞6）具有D性质，且它的D性系数为A，
所以A-m，A-6，A-3，A-2也是该数列的项，且A-m＜A-6＜A-3＜A-2，
故A-m=2，A-6=3，即A=9，m=7．
（Ⅱ）证明：设数列{b_n}的公差为d，
因为数列{b_n}是项数为101项的有穷等差数列
若b₁≤b₂≤b₃≤…≤b₁₀₁，则A-b₁≥A-b₂≥A-b₃≥…≥A-b₁₀₁，
即对数列{b_n}中的任意一项b_i（1≤i≤101），A-b_i=b₁+（101-i）d=b_102-i∈{b_n}
同理可得：b₁≥b₂≥b₃≥…≥b₁₀₁，A-b_i=b₁+（101-i）d=b_102-i∈{b_n}也成立，
由“数列具有D性质”的定义可知，数列{b_n}是“数列{b_n}具有D性质”；
又因为数列{b_n}所有项之和是S，所以S═$\frac{101（{b}_{1}+{b}_{101}）}{2}$=$\frac{101A}{2}$，即A=$\frac{2S}{101}$；
（Ⅲ）解：假设存在这样的递增的等比数列{c_n}，设它的公比为q（q＞1），
因为数列{c_n}为递增数列，所以c₁＜c₂＜c₃＜…＜c_n，则A-c₁＞A-c₂＞A-c₃＞…＞A-c_n，
又因为数列{c_n}为“数列具有D性质”，则A-c_i∈{c_n}，所以A-c_i是正整数
故数列{c_n}必为有穷数列，不妨设项数为n项，则c_i+c_n+1-i=A（1≤i≤n）
①若n=3，则有c₁+c₃=A，c₂=$\frac{A}{2}$，又c₂²=c₁c₃，由此得q=1，与q＞1矛盾
②若n≥4，由c₁+c_n=c₂+c_n-1，得c₁-c₁q+c₁q^n-1-c₁q^n-2=0
即（q-1）（1-q^n-2）=0，故q=1，与q＞1矛盾；
综合①②得，不存在满足条件的数列{c_n}．

点评 本题考查新定义，考查学生的阅读能力，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．