Question

3．设实二次函数f（x）=ax²+bx+c，a＞0，己知有三个互不相同的整数n₁，n₂，n₃使得|f（n_i）|≤100，i=1，2，3，求证：
（1）存在实数x₀，满足：|f（x₀）|≤100且|f（x₀+1）|≤100．
（2）a≤200．

Answer 1

分析 （1）不妨设n₁＜n₁+1≤n₂＜n₂+1≤n₃，根据二次函数的性质即可证明，
（2）当R存在三个整数使得|f（n_i）|≤100时，a取得最大值，不妨设连续整数分别为x₁-1，x₁，x₁+1，由二次函数图象可令f（x₁-1）＞0，f（x₁）＜0，f（x₁+1）≥0，
分别代入，构造不等式组，解得即可．

解答 解：（1）∵n₁，n₂，n₃∈Z，
∴不妨设n₁＜n₁+1≤n₂＜n₂+1≤n₃，
∵f（x）=ax²+bx+c，a＞0，开口向上，
若-$\frac{b}{2a}$∈[n₁，n₂]，则f（x）在[n₁，n₂]上单调递增，
又|f（n₂）|≤100，|f（n₃）|≤100，
∴|f（n₂+1）|≤100，
同理当-$\frac{b}{2a}$∈[n₂，n₃]，亦可证|f（n₃+1）|≤100，
∴存在实数x₀满足，|f（x₀）|≤100，|f（x₀+1）|≤100，
（2）当R存在三个整数使得|f（n_i）|≤100时，a取得最大值，不妨设连续整数分别为x₁-1，x₁，x₁+1，
由二次函数图象可令f（x₁-1）＞0，f（x₁）＜0，f（x₁+1）≥0，
则f（x₁-1）=a（x₁-1）²+6（x₁-1）+c≤100，①
f（x₁）=ax₁²+6x₁+c≥-100，②
a（x₁+1）²+6（x₁+1）+c≤100，③，
①-②得-2ax₁+a-6≤200，④，
③-②得2ax₁+a+6≤200，⑤，
④+⑤得2a≤400，
即a≤200得证

点评 本题考查了二次函数的性质，以及不等式组的解法，考查了学生的转化能力和运算能力，属于难题