Question

8．倾斜角为45^o的直线l经过y²=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，则线段|AB|=8．

Answer 1

分析 由题意求得直线方程，并代入抛物线方程，由一元二次方程根与系数的关系及抛物线过焦点的弦长公式得答案．

解答 解：由y²=4x，得其焦点坐标为F（1，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又直线的倾斜角为45^o，则其斜率k=1，
∴A、B所在直线方程为y=x-1．
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：x²-6x+1=0．
由韦达定理可知：x₁+x₂=6．
∴由抛物线的性质可知：|AB|=x₁+x₂+p=6+2=8；
故答案为：8．

点评 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．