Question

设等比数列{a_n}的首项为a₁=2，公比为q（q为正整数），且满足3a₃是8a₁与a₅的等差中项；等差数列{b_n}满足2n²-（t+b_n）n+

3

2

bn=0（t∈R，n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ） 若对任意n∈N^*，有a_nb_n+1+λa_na_n+1≥b_na_n+1成立，求实数λ的取值范围；
（Ⅲ）对每个正整数k，在a_k和a _k+1之间插入b_k个2，得到一个新数列{c_n}．设T_n是数列{c_n}的前n项和，试求满足T_m=2c_m+1的所有正整数m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由3a₃是8a₁与a₅的等差中项得到6a₃=8a₁+a₅，根据首项2和公比q，利用等比数列的通项公式化简这个式子即可求出q的值，利用首项和公比即可得到通项公式；由2n²-（t+b_n）n+

3

2

b_n=0解出b_n，列举出b₁，b₂和b₃，要使数列{b_n}为等差数列，根据等差数列的性质可知b₁+b₃=2b₂，把b₁，b₂和b₃的值代入即可求出t的值，即可得到结论；
（Ⅱ）分离参数，确定其单调性，即可求实数λ的取值范围；
（Ⅲ）显然c₁=c₂=c₃=2，容易判断m=1时不合题意，m=2适合题意，当m大于等于3时，得到c_m+1必是数列{a_n}中的某一项a_k+1，然后根据T_n=2c_m+1列举出各项，利用等差、等比数列的求和公式化简后得到2^k=k²+k-1，把k=1，2，3，4，代入等式得到不是等式的解，利用数学归纳法证明得到k大于等于5时方程没有正整数解，所以得到满足题意的m仅有一个解m=2．

解答：解：（Ⅰ）由题意，∵3a₃是8a₁与a₅的等差中项
∴6a₃=8a₁+a₅，则6q²=8+q⁴，解得q²=4或q²=2
∵q为正整数，∴q=2，
又a₁=2，∴an=2n------（3分）
∵2n²-（t+b_n）n+

3

2

bn=0
∴b_n=

2n2-tn

n- 3 2

∴b₁=2t-4，b₂=16-4t，b₃=12-2t，
则由b₁+b₃=2b₂，得t=3
当t=3时，b_n=2n．----------（6分）
（Ⅱ）∵a_nb _n+1+λa_na _n+1≥b_na_n+1，∴λ≥

n-1

2n

．
记k_n=

n-1

2n

，当n≥2时，

kn+1

kn

≤1，得k_n=

n-1

2n

单调减，----------（8分）
又k₁=0，所以λ≥k2=

1

4

---------（10分）
（Ⅲ）∵对每个正整数k，在a_k和a _k+1之间插入b_k个2，得到一个新数列{c_n}，
∴当k=1时，a₁=2，b₁=2，即数列{c_n}的前项为c₁=c₂=c₃=2，
则m=1时，T₁=2c₂不合题意，当m=2时，T₂=2c₃适合题意，
当m≥3时，若后添入的数2等于c_m+1个，则一定不适合题意，从而c_m+1必是数列{a_n}中的某一项a_k+1，
则（2+2²+2³+…+2^k）+2（b₁+b₂+b₃+…+b_k）=2×2^k+1，
即2×（2^k-1）+

(2+2k)k

2

×2=2×2^k+1，即2^k+1-2k²-2k+2=0．
也就是2^k=k²+k-1，
k=1，2，3，4不是该方程的解，而当n≥5时，2ⁿ＞n²+n-1成立，证明如下：
1°当n=5时，2⁵=32，k²+k-1=29，左边＞右边成立；
2°假设n=k时，2^k＞k²+k-1成立，
当n=k+1时，2^k+1＞2k²+2k-2=（k+1）²+（k+1）-1+k²-k-3
≥（k+1）²+（k+1）-1+5k-k-3=（k+1）²+（k+1）-1+k+3（k-1）＞（k+1）²+（k+1）-1
这就是说，当n=k+1时，结论成立．
由1°，2°可知，2ⁿ＞n²+n-1（n≥5）时恒成立，故2^k=k²+k-1无正整数解．
综上可知，满足题意的正整数仅有m=2．

点评：本题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，考查灵活运用数列解决实际问题，以及会利用数学归纳法进行证明，属于难题．