精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
设等比数列{an}的首项为a1=2,公比为q(q为正整数),且满足3a3是8a1与a5的等差中项;等差数列{bn}满足2n2-(t+bn)n+
32
bn
=0(t∈R,n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ) 若对任意n∈N*,有anbn+1+λanan+1≥bnan+1成立,求实数λ的取值范围;
(Ⅲ)对每个正整数k,在ak和a k+1之间插入bk个2,得到一个新数列{cn}.设Tn是数列{cn}的前n项和,试求满足Tm=2cm+1的所有正整数m.
分析:(Ⅰ)由3a3是8a1与a5的等差中项得到6a3=8a1+a5,根据首项2和公比q,利用等比数列的通项公式化简这个式子即可求出q的值,利用首项和公比即可得到通项公式;由2n2-(t+bn)n+
3
2
bn=0解出bn,列举出b1,b2和b3,要使数列{bn}为等差数列,根据等差数列的性质可知b1+b3=2b2,把b1,b2和b3的值代入即可求出t的值,即可得到结论;
(Ⅱ)分离参数,确定其单调性,即可求实数λ的取值范围;
(Ⅲ)显然c1=c2=c3=2,容易判断m=1时不合题意,m=2适合题意,当m大于等于3时,得到cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1,然后根据Tn=2cm+1列举出各项,利用等差、等比数列的求和公式化简后得到2k=k2+k-1,把k=1,2,3,4,代入等式得到不是等式的解,利用数学归纳法证明得到k大于等于5时方程没有正整数解,所以得到满足题意的m仅有一个解m=2.
解答:解:(Ⅰ)由题意,∵3a3是8a1与a5的等差中项
∴6a3=8a1+a5,则6q2=8+q4,解得q2=4或q2=2
∵q为正整数,∴q=2,
又a1=2,∴an=2n------(3分)
∵2n2-(t+bn)n+
3
2
bn
=0
∴bn=
2n2-tn
n-
3
2

∴b1=2t-4,b2=16-4t,b3=12-2t,
则由b1+b3=2b2,得t=3
当t=3时,bn=2n.----------(6分)
(Ⅱ)∵anb n+1+λana n+1≥bnan+1,∴λ≥
n-1
2n

记kn=
n-1
2n
,当n≥2时,
kn+1
kn
≤1
,得kn=
n-1
2n
单调减,----------(8分)
又k1=0,所以λ≥k2=
1
4
---------(10分)
(Ⅲ)∵对每个正整数k,在ak和a k+1之间插入bk个2,得到一个新数列{cn},
∴当k=1时,a1=2,b1=2,即数列{cn}的前项为c1=c2=c3=2,
则m=1时,T1=2c2不合题意,当m=2时,T2=2c3适合题意,
当m≥3时,若后添入的数2等于cm+1个,则一定不适合题意,从而cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1
则(2+22+23+…+2k)+2(b1+b2+b3+…+bk)=2×2k+1
即2×(2k-1)+
(2+2k)k
2
×2=2×2k+1,即2k+1-2k2-2k+2=0.
也就是2k=k2+k-1,
k=1,2,3,4不是该方程的解,而当n≥5时,2n>n2+n-1成立,证明如下:
1°当n=5时,25=32,k2+k-1=29,左边>右边成立;
2°假设n=k时,2k>k2+k-1成立,
当n=k+1时,2k+1>2k2+2k-2=(k+1)2+(k+1)-1+k2-k-3
≥(k+1)2+(k+1)-1+5k-k-3=(k+1)2+(k+1)-1+k+3(k-1)>(k+1)2+(k+1)-1
这就是说,当n=k+1时,结论成立.
由1°,2°可知,2n>n2+n-1(n≥5)时恒成立,故2k=k2+k-1无正整数解.
综上可知,满足题意的正整数仅有m=2.
点评:本题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的通项公式化简求值,考查灵活运用数列解决实际问题,以及会利用数学归纳法进行证明,属于难题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设等比数列{an}的前n项和为Sn,若8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定的是(  )
A、
a5
a3
B、
S5
S3
C、
an+1
an
D、
Sn+1
Sn

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

12、设等比数列{an}的前n项和为Sn,巳知S10=∫03(1+2x)dx,S20=18,则S30=
21

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6:S3=3,则S9:S6=
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设等比数列{an}的前n项和为Sn,若
S6
S3
=3,则
S9
S6
=(  )
A、
1
2
B、
7
3
C、
8
3
D、1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设等比数列{an}的前n 项和为Sn,若
S6
S3
=3,则
S9
S3
=
7
7

查看答案和解析>>

同步练习册答案