Question

【题目】某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查，为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.

方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次.

方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组个人的血总共需要化验次.

假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.

（1）设方案②中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列；

（2）设，试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数).

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）390次

【解析】

（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则，，求出个人的血混合后呈阴性反应的概率，呈阳性反应的概率得分布列；

（2）由（1）计算出期望，令分别计算出均值后可得检验次数，从而可得结论．

（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则

所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为

依题意可知，所以的分布列为：

（2）方案②中

结合（1）知每个人的平均化验次数为：

所以当时，，此时人需要化验的总次

数为次，

时，，此时人需要化验的总次数为次，

时，，此时人需要化验的次数总为次

即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少

而采用方案①则需化验次，

故在三种分组情况下，相比方案①，当时化验次数最多可以平均

减少次．