Question

【题目】已知函数f（x）＝lnx﹣sinx,记f（x）的导函数为f'（x）.

（1）若h（x）＝axf'（x）是（0,+∞）上的单调递增函数,求实数a的取值范围；

（2）若x∈（0,2π）,试判断函数f（x）的极值点个数,并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）a≥1；（2）函数f（x）在（0,2π）上有且仅有唯一的极大值点,无极小值点；理由详见解析

【解析】

（1）只需h′（x）≥0在（0,+∞）恒成立,借助于三角函数的有界性,问题可解决.

（2）分x∈（0,1）,,,四种情形分别研究f（x）的单调性,进而得出结论.

解：（1）∵,

∴ax+cosx,因为h（x）是（0,+∞）上的单调递增函数,

∴h′（x）＝a﹣sinx≥0（x＞0）恒成立,因为sinx∈[﹣1,1],

故a≥1时,h′（x）≥0恒成立,且导数为0时不连续.

故a≥1即为所求.

（2）由（1）知,,

①当x∈（0,1]时,f′（x）≥1﹣cosx＞0,

此时函数f（x）单调递增,无极值点；

②当时,则,

∵,而由三角函数的性质可知,,

∴,

此时函数f（x）单调递增,无极值点；

③当时,cosx＜0,则,

此时函数f（x）单调递增,无极值点；

④当时,令,则,

∴函数g（x）单调递减,

又,

∴存在唯一的,使得g（x0）＝0,

且当时,g（x）＝f′（x）＞0,f（x）单调递增,

当x∈（x0,2π）时,g（x）＝f′（x）＜0,f（x）单调递减,

故x0是函数f（x）的极大值点,

综上所述,函数f（x）在（0,2π）上有且仅有唯一的极大值点,无极小值点.