Question

【题目】如图，在平行四边形中，，，现沿对角线将折起，使点A到达点P，点M，N分别在直线，上，且A，B，M，N四点共面.

（1）求证：；

（2）若平面平面，二面角平面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据余弦定理，可得，利用//，可得//平面，然后利用线面平行的性质定理，//，最后可得结果.

（2）根据二面角平面角大小为，可知N为的中点，然后利用建系，计算以及平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，可得结果.

（1）不妨设，则，

在中,

，

则，

因为，

所以，因为//，

且A、B、M、N四点共面，所以//平面.

又平面平面，所以//.

而，.

（2）因为平面平面，且，

所以平面，，

因为，所以平面，，

因为，平面与平面夹角为，

所以，在中，易知N为的中点，

如图，建立空间直角坐标系，

则，，，

，，

，，，

设平面的一个法向量为，

则由，

令，得.

设与平面所成角为，

则.