Question

【题目】如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面， 为上一点，为菱形对角线的交点．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若，四棱锥的体积是四棱锥的体积的，求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).

【解析】

（1）由平面，得，再由底面为菱形，得，由线面垂直的判定可得平面，进一步得到平面平面；（2）设到平面的距离为,菱形的面积为 ,由体积关系可得 ,则为的中点，连接，则，可得平面，过作，则为二面角的平面角，然后求解三角形得二面角的正切值.

（1）证明：因为平面，平面，，

因为底面为菱形， ，

又平面，且，

平面，

平面平面平面；

（2）设到平面的距离为,菱形的面积为 ,

则，

，

由已知有，

, 则为的中点，

连接，则， 平面，

过作，

连接，则为二面角的平面角，

设，

则，

.