已知函数在与时都取得极值.
(1)求的值及的极大值与极小值;
(2)若方程有三个互异的实根,求的取值范围;
(3)若对,不等式恒成立,求的取值范围.
(1),当时,有极大值,当时,有极小值;(2);(3)或.
【解析】
试题分析:(1)因为函数在极值点处的导数等于0,所以若在与时都取得极值,则,解方程组可得到的值,再由导数的正负确定函数的单调性,最后可求得的极大值与极小值;(2)若方程有三个互异的实根,故曲线与有三个不同的交点,则极大值大于1,极小值小于1,从而可求的取值范围;(3)对,不等式恒成立,只须,从中求解即可求出的取值范围.
试题解析:(1)
由已知有,解得 3分
,
由得或,由得 5分
列表如下
1 | |||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
递增 | 递减 | 递增 |
所以,当时,有极大值,当时,有极小值 8分
(2)由于方程有三个互异的实根
故曲线与有三个不同交点 9分
由(1)可知此时有
解得 12分
(3)由(1)知,在上递增,此时 14分
要满足题意,只须
解得或 16分.
考点:1.函数的极值与导数;2.函数与方程;3.函数的最值与导数.
科目:高中数学 来源:2015届广东省等七校高二2月联考文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
中心在原点的双曲线,一个焦点为,一个焦点到最近顶点的距离是,则双曲线的方程是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中数学 来源:2015届广东汕头金山中学高二上学期期末理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知两个同心圆,其半径分别为,为小圆上的一条定直径,则以大圆的切线为准线,且过两点的抛物线焦点的轨迹方程为( )(以线段所在直线为轴,其中垂线为轴建立平面直角坐标系)
A. B.
C. D.
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科目:高中数学 来源:2015届广东汕头金山中学高二上学期期末理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为,则球的表面积为( )
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2015届广东汕头金山中学高二上学期期末文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知定义在上的函数,其导函数的图像如图所示,则下列叙述正确的是( )
A. B.
C. D.
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