已知直线l:y=kx与椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$交于A.B两点.其中右焦点F的坐标为(c.0).且AF与BF垂直.则椭圆C的离心率的取值范围为( )A．$[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}.1})$B．$({0.\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$C．$({\frac{{\sqrt{2}}}{2}.1})$D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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9．已知直线l：y=kx与椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$交于A、B两点，其中右焦点F的坐标为（c，0），且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　）

A．

$[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$

B．

$（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$

C．

$（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$

D．

$（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$

分析由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，再由椭圆的性质可得c＞b，结合离心率公式和a，b，c的关系，即可得到所求范围．

解答解：由AF与BF垂直，
运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，
可得||OA|=|OF|=c，
由|OA|＞b，即c＞b，可得c²＞b²=a²-c²，
即有c²＞$\frac{1}{2}$a²，
可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e＜1．
故选：C．

点评本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用直角三角形斜边上中线的性质，以及离心率公式和弦长的性质，考查运算能力，属于中档题．

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