Question

6．已知函数$f（x）=xlnx+\frac{3}{2}$．
（I）求函数f（x）的单调区间和极值；
（II）若对定义域内任意的x，$f（x）≥\frac{{-{x^2}+mx}}{2}$恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）问题转化为m≤$\frac{2x•lnx{+x}^{2}+3}{x}$，令h（x）=$\frac{2x•lnx{+x}^{2}+3}{x}$，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出m的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=lnx+1，
由f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
∴f（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增，
f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，
∴f（x）在x=$\frac{1}{e}$处取得极小值，极小值是f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$+$\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）∵2f（x）≥-x²+mx-3，
即m≤$\frac{2x•lnx{+x}^{2}+3}{x}$，
令h（x）=$\frac{2x•lnx{+x}^{2}+3}{x}$，
h′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$
令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴h（x）_min=h（1）=4，
故m≤4，m的最大值是4．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．