Question

15．已知函数y=x²+2ax+1（-1≤x≤2）的最小值为-4，求a的值．

Answer 1

分析 讨论对称轴与区间的关系判断函数的对称性，列出方程解出a．

解答 解：二次函数f（x）=x²+2ax+1的对称轴为x=-a，开口向上．
（1）若-a≤-1，即a≥1，则f（x）在[-1，2]上是增函数，
∴f（-1）=2-2a=4，解得a=-2（舍）．
（2）若-a≥2，即a≤-2时，f（x）在[-1，2]上是减函数，
∴f（2）=5+4a=-4，解得a=-$\frac{9}{4}$．
（3），若-1＜-a＜2，即-2＜a＜1，则f（x）在[-1，2]上先减后增，
∴f（-a）=-a²+1=-4，解得a=-$\sqrt{5}$（舍）或a=$\sqrt{5}$（舍）．
综上，a=-$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的单调性，属于中档题．