Question

求过两点A（1，0），B（2，1），且圆心在直线x-y=0上的圆的标准方程．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆

分析：根据A、B的坐标算出AB的斜率k=1，线段AB的中点为(

3

2

，

1

2

)，进而算出线段AB中垂线的方程为y=-x+2．由题意得圆心C为AB的中垂线与直线x-y=0的交点，联解两直线的方程得圆心为C（1，1），再利用两间点的距离公式算出半径r=1，可得所求圆的标准方程．

解答： 解：∵点A（1，0）、B（2，1），
∴直线AB的斜率为k=

1-0

2-1

=1，线段AB的中点为(

3

2

，

1

2

)，
由此可得AB的垂直平分线的斜率k'=

-1

k

=-1
∴线段AB的垂直平分线的方程为y-

1

2

=-(x-

3

2

)，化简得y=-x+2，
∵点A、B在圆上，且圆心在直线x-y=0上，
∴解方程组

y=-x+2 x-y=0

，得

x=1 y=1

，
可得圆心的坐标为（1，1），
圆的半径为r=|AC|=

(1-1)2+(1-0)2

=1，
∴所求圆的标准方程为（x-1）²+（y-1）²=1．

点评：本题求经过定点A、B，且圆心在定直线上的圆方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、两点间的距离公式、圆的标准方程等知识，属于基础题．