Question

如图，在△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=120°．以点B为圆心，BC的长为半径的半圆交AC于D点，则cos∠ABD的值等于

13

14

．

Answer 1

分析：在三角形ABC中，利用余弦定理得到AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC，将AB，BC及∠ABC的度数代入，利用特殊角的三角函数值化简后，求出AC的长，再由AB及BD的长，求出AE及AF的长，利用割线定理求出AD的长，在三角形ABD中，由AB，BD及AD的长，利用余弦定理即可求出cos∠ABD的值．

解答：解：在△ABC中，∠ABC=120°，AB=2，BC=1，
由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC=5-4×（-

1

2

）=7，
解得：AC=

7

，
又AB=2，BC=BE=1，∴AE=AB-BE=2-1=1，AF=AE+EF=1+2=3，
∴由割线定理得到：AD•AC=AE•AF，即AD=

3

7

=

3 7

7

，
在△ABD中，AB=2，BD=1，AD=

3 7

7

，
由余弦定理得：cos∠ABD=

AB2+BD2-AD2

2AB•BD

=

13

14

．
故答案为：

13

14

点评：此题考查了余弦定理，割线定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．