Question

已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R)

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

 

Answer 1

（1）l过定点，(-2,1)；(2)k∈[0, )；（3）S的最小值为4，此时l方程为：x-2y+4=0.

【解析】

试题分析：（1）将直线l方程化为点斜式得：y-1=k(x+2),可知其恒过定点（-2，1）；(2) 画草图可知：由于直线l恒过定点（-2，1），所以直线l不经过第四象限必须且只需即可；（3）直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，则知k>0,且可用k将A，B两点坐标表示出来，从而就可将△AOB的面积为S表示成为k的函数，然后求此函数的最小值即可．

试题解析：（1）因为直线l:kx-y+1+2k=0(K∈R) y-1=k(x+2)，所以直线l过定点(-2,1)；

(2) 由于直线l恒过定点（-2，1），画出图形，知要使直线l不经过第四象限必须且只需，故k∈[0, )；

（3）由直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B知：k>0,由直线l:kx-y+1+2k=0中，令则，再令，则，所以有：

（当且仅当时，取等号），所以，S的最小值为4，此时l方程为：x-2y+4=0.

考点：1.直线方程;2.基本不等式.