Question

12．某普通高中组队参加中学生辩论赛，文科班推荐了3名男生、4名女生，理科班推荐了3名男生、2名女生，他们各有所长，总体水平相当，学校拟从这12名学生随机抽取3名男生、3名女生组队集训．
（Ⅰ）求理科班至少有2名学生入选集训队的概率；
（Ⅱ）若先抽取女生，每次随机抽取1人，设X表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科班女生的人数，求X的分布列和均值（数学期望）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出理科班没有学生入选集训队的概率和理科班有1名学生入选集训队的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出理科班至少有2名学生入选集训队的概率．
（Ⅱ）由题意X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和均值（数学期望）．

解答 解：（Ⅰ）理科班没有学生入选集训队的概率为$\frac{C_3^3C_4^3}{C_6^3C_6^3}=\frac{1}{100}$…（2分）
理科班有1名学生入选集训队的概率为$\frac{C_3^2C_4^3C_3^1+C_3^3C_4^2C_2^1}{C_6^3C_6^3}=\frac{3}{25}$…（4分）
∴理科班至少有2名学生入选集训队的概率为$1-（\frac{1}{100}+\frac{3}{25}）=\frac{87}{100}$…（5分）
（Ⅱ）由题意X=0，1，2…（6分）
P（X=0）=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$…（7分），
P（X=1）=$\frac{2}{6}×\frac{4}{5}=\frac{4}{15}$…（8分）
P（X=2）=$\frac{2}{6}×\frac{1}{5}$=$\frac{1}{15}$…（9分）
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{15}$

…（10分）
X的均值（数学期望）EX=$0×\frac{2}{3}+1×\frac{4}{15}+2×\frac{1}{15}$=$\frac{2}{5}$…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．