Question

如图，四面体中，、分别是、的中点，

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

解析试题分析：（1）由题意可知，为等腰三角形，是边上的中线，所以，再由已知条件算出的三条边长，由此根据勾股定理，可证,从而得证平面；（2）作于F，连AF，由（1）知， 故，所以 ,则 是二面角的平面角，利用平面几何知识即可算出其正切值；（3）设点E到平面ACD的距离为因为,所以,从而求出．也可以点为原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用利用空间向量方法，求解各个小题，详见解析．
试题解析：（Ⅰ）证明：连结OC


在中，由已知可得而
即
平面
（Ⅱ）解： 作于F，连AF
由（1）知， 故 
 , 是二面角的平面角，
易知,.
即所求二面角的正切值为 
（Ⅲ）解：设点E到平面ACD的距离为


在中，

而

点E到平面ACD的距离为
方法二：（Ⅰ）同方法一.
（Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

（Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为则


令得是平面ACD的一个法向量，又
点E到平面ACD的距离．
考点：本题考查的知识点是空间直线与平面垂直的判定，空间点到平面的距离，二面角的平面角，其中（I）的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的转化，（II）（III）的关键是建立空间坐标系，利用向量法解决空间距离和夹角问题．