Question

9．如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，底面ABCD是直角梯形，A是直角，AB∥CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线BC₁与DC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 由AB∥CD，得∠C₁BA就是BC₁与CD所成的角，由此能求出异面直线BC₁与DC所成角的余弦值．

解答 解：由题意AB∥CD，
∴∠C₁BA是异面直线BC₁与DC所成的角．
连接AC₁与AC，在Rt△ADC中，可得AC=$\sqrt{5}$．
又在Rt△ACC₁中，可得AC₁=3．
在梯形ABCD中，过C作CH∥AD交AB于H，
得∠CHB=90°，CH=2，HB=3，
∴CB=$\sqrt{13}$．
又在Rt△CBC₁中，可得BC₁=$\sqrt{17}$，
在△ABC₁中，cos∠C₁BA=$\frac{{3\sqrt{17}}}{17}$，
即异面直线BC₁与DC所成角的余弦值为$\frac{{3\sqrt{17}}}{17}$．

点评 本题考查点到直线的距离，考查异面直线所成角的余弦值的求法．考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．