Question

5．长方体有三个面的面积分别是12，15，20，且长方体的8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是50π．

Answer 1

分析 根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而根据球的表面积公式求出球的表面积．

解答 解：因为长方体相邻的三个面的面积分别是12，15，20，
∴长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，
又因为长方体的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是圆的直径，
因为长方体的体对角线的长是：$\sqrt{9+16+25}$=5$\sqrt{2}$，
球的半径是：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
这个球的表面积：4$π•（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{2}$=50π
故答案为50π．

点评 解决此类问题的关键是熟练掌握常用几何体的结构特征，以及球的内接多面体的有关知识，球的表面积公式，而解决此题的关键是知道球的直径与长方体的体对角线，考查计算能力，空间想象能力，此题属于基础题．