Question

13．在平行四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，BC的中点，且DM=1，DN=2，∠MDN=$\frac{π}{3}$；
（I）试用向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$表示向量$\overrightarrow{DM}$，$\overrightarrow{DN}$；
（II）求|${\overrightarrow{AB}}$|，|${\overrightarrow{AD}}$|；
（III）设O为△ADM的重心（三角形三条中线的交点），若$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AD}$+y$\overrightarrow{AM}$，求x，y的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量基本线性运算与基本定理化简；
（2）利用公式$|\overrightarrow{a}|\\;=\\;\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}}$来计算向量模长；
（3）重心性质知：$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{MO}=\overrightarrow 0$，所以有（x+y-1）$\overrightarrow{AO}$+（-x）$\overrightarrow{DO}$+（-y）$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{0}$；

解答 解：（I）如右图所示，
$\overrightarrow{DM}$=$\overrightarrow{DA}$+$\overrightarrow{AM}$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$；
 $\overrightarrow{DN}$=$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CN}$ 
=$；\overrightarrow{AB}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$；
（II）由（I）知$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DN}-\frac{4}{3}\overrightarrow{DM}，\overrightarrow{AB}=\frac{4}{3}\overrightarrow{DN}-\frac{2}{3}\overrightarrow{DM}$；
所以$|{\overrightarrow{AD}}|=\sqrt{{{（{\frac{2}{3}\overrightarrow{DN}-\frac{4}{3}\overrightarrow{DM}}）}^2}}=\frac{4}{3}，|{\overrightarrow{AB}}|=\sqrt{{{（{\frac{4}{3}\overrightarrow{DN}-\frac{2}{3}\overrightarrow{DM}}）}^2}}=\frac{2}{3}\sqrt{13}$；
（III）由重心性质知：$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{MO}=\overrightarrow 0$，所以有：
$\begin{array}{l}\overrightarrow 0=x\overrightarrow{AD}+y\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{OA}=x（{\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{DO}}）+y（{\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{MO}}）-\overrightarrow{AO}\\=（{x+y-1}）\overrightarrow{AO}+（{-x}）\overrightarrow{DO}+（{-y}）\overrightarrow{MO}\end{array}$
所以$（{x+y-1}）：（{-x}）：（{-y}）=1：1：1⇒x=y=\frac{1}{3}$；

点评 本题主要考查了向量的基本线性运算，向量模长求法以及三角形重心性质等知识点，属基础题．