Question

7．某自助银行有A，B，C三台ATM机，在某一时刻这三台ATM机被占用的概率分别为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{5}$，且这三台ATM机是否被占用互不影响．
（1）如果某客户只能使用A或B这两台ATM机，求该客户不需要等待的概率；
（2）若X表示在该时刻这三台ATM机被占用的数量，求随机变量X的分布和数学期望．

Answer 1

分析 （1）先计算客户需要等待的概率，进而根据对立事件概率减法公式，得到答案；
（2）X的可能取值为0，1，2，3，进而可求出随机变量X的分布和数学期望．

解答 解：（1）设“该客户不需要等待”为事件M，
∵在某一时刻A，B两台ATM机被占用的概率分别为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，
P（M）=1-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$，
∴客户不需要等待的概率为 $\frac{5}{6}$；
（2）由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，
由（1）知P（X=0）=（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{2}{5}$）=$\frac{1}{5}$，
P（X=1）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{2}{5}$）+（1-$\frac{1}{2}$）$\frac{1}{3}$（1-$\frac{2}{5}$）+（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{3}$）$\frac{2}{5}$=$\frac{13}{30}$，
P（X=2）=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$（1-$\frac{2}{5}$）+（1-$\frac{1}{2}$）$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{2}$•（1-$\frac{1}{3}$）$\frac{2}{5}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=3）=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{5}$=$\frac{1}{15}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{13}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{15}$

X的数学期望为：EX=0×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{13}{30}$+2×$\frac{3}{10}$+3×$\frac{1}{15}$=$\frac{37}{30}$．

点评 本题考查的知识点是对立事件概率减法公式，相互独立事件概率乘法公式，随机变量的分布列与期望，难度中档．