Question

设M（x，y）到定点F（

3

，0）的距离和它到直线x=

4 3

3

距离的比是

3

2

．
（Ⅰ）求点M（x，y）的轨迹方程；
（Ⅱ）O为坐标原点，过F点且斜率为

2

2

的直线，与点M的轨迹交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求△AOB的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）直接利用已知条件考查方程，化简即可求点M（x，y）的轨迹方程；
（Ⅱ）设出直线AB的方程，与椭圆联立方程组消去y并整理利用韦达定理，结合x₁x₂+4y₁y₂=0，求出|AB|．原点O到直线AB的距离，然后求△AOB的面积．

解答： 解：（Ⅰ）由已知M（x，y）到定点F（

3

，0）的距离和它到直线x=

4 3

3

距离的比是

3

2

．
得

(x- 3 )2+(y-0)2

|x- 4 3 3 |

=

3

2

化简得点M（x，y）的轨迹方程为

x2

4

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k(x-

3

)．联立方程组

x2 4 +y2=1 y=k(x- 3 )

消去y并整理得(4k2+1)x2-8

3

k2x+12k2-4=0，
故x1+x2=

8 3 k2

4k2+1

，x1x2=

12k2-4

4k2+1

，
y1y2=k(x1-

3

)•k(x2-

3

)=k2[x1x2-

3

(x1+x2)+3]=

-k2

4k2+1

又x₁x₂+4y₁y₂=0，所以

12k2-4

4k2+1

+

-4k2

4k2+1

=0，
可得k2=

1

2

，所以x1+x2=

4 3

3

，x1x2=

2

3

由|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=2
原点O到直线AB的距离d=

|k(0- 3 )-0|

k2+1

=

|k 3 |

k2+1

=1
所以S△AOB=

1

2

|AB|•d=1…（12分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．