Question

20．已知{a_n}是递增数列，且对于任意n∈N^*，都有a_n=n²+3λn成立，则实数λ的取值范围是（　　）

• A． λ＞1
• B． λ＜1
• C． λ＞-1
• D． λ＜-1

Answer 1

分析 解法一：由{a_n}是递增数列，可得对于任意n∈N^*，都有a_n+1＞a_n．化简利用数列的单调性即可得出．
解法二：a_n=n²+3λn=$（n+\frac{3λ}{2}）^{2}$-$\frac{9{λ}^{2}}{4}$，由{a_n}是递增数列，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解法一：∵{a_n}是递增数列，
∴对于任意n∈N^*，都有a_n+1＞a_n．
∴（n+1）²+3λ（n+1）＞n²+3λn，
化为：λ＞-$\frac{2n+1}{3}$．
∵数列$\{-\frac{2n+1}{3}\}$单调递减，∴n=1时取得最大值-1，
∴λ＞-1．
解法二：a_n=n²+3λn=$（n+\frac{3λ}{2}）^{2}$-$\frac{9{λ}^{2}}{4}$，
∵{a_n}是递增数列，
∴$-\frac{3λ}{2}$＜$\frac{3}{2}$，
∴λ＞-1．
故选：C．

点评 本题考查了递推关系、数列的单调性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．