Question

5．在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1=2a_n+1，（ n∈N*）．
（Ⅰ）求证：{a_n+1}为等比数列；并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用构造法结合等比数列的定义进行证明求解即可．
（2）求出数列{b_n}的通项公式，利用错位相减法进行求和即可．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，
∴1+a_n+1=2a_n+1+2=2（a_n+1），
即$\frac{1+{a}_{n+1}}{1+{a}_{n}}$=2，
则数列{a_n+1}是公比q=2的等比数列，
首项 a₁+1=1+1=2，
则a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
则${a_n}={2^n}-1$．
（2）b_n=$\frac{n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$=$\frac{n}{{2}^{n+1}-1-{2}^{n}+1}$=$\frac{n}{{2}^{n+1}-{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
则S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，①
则$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②得
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
则S_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题主要考查等比数列的证明以及利用错位相减法进行求解，利用构造法构造等比数列求出数列{a_n}的通项公式是解决本题的关键．