Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c）图象上有两点A（m₁，f（m₁））、B（m₂，f（m₂））满足f（1）=0，且a²+（f（m₁）+f（m₂））a+f（m₁）f（m₂）=0．
（Ⅰ）求证：b≥0；
（Ⅱ）问：能否保证f（m_?+3）（?=1，2）中至少有一个为正数？请证明你的结论．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由已知可得[a+?（m₁）]•[a+?（m₂）]=0，则?（m₁）=-a或?（m₂）=-a，故△=b²-4a（a+c）≥0，结合f（1）=0，a＞b＞c，可得b≥0；
（Ⅱ）（II）设?（x）=ax²+bx+c=0的两根分别为x₁、x₂，显然其中一根为1，另一根为

c

a

，结合（I）中结论，可得?（m₁）=-a时，m₁+3＞

c

a

+3＞1．结合?（x）在（1，+∞）上是增函数，同理，当?（m₂）=-a时有?（m₂+3）＞0，进而得到答案．

解答： 证明：（I）∵?（m₁），?（m₂）满足方程a²+（f（m₁）+f（m₂））a+f（m₁）f（m₂）=0，
即[a+?（m₁）]•[a+?（m₂）]=0，
∴?（m₁）=-a或?（m₂）=-a…（2分）
∴m₁或m₂是方程a²+（?（m₁）+?（m₂））a+?（m₁）+?（m₂）=0的实根，
∴△=b²-4a（a+c）≥0，即b²≥4a（a+c）．…（3分）
∵?（1）=0，
∴a+b+c=0，且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0且b=-a-c，…（5分）
∴b²-4ab，即b（b+4a）≥0，
∴a＞0，c＜0，
∴3a-c＞0，
∴b≥0．…．（6分）
（II）设?（x）=ax²+bx+c=0的两根分别为x₁、x₂，
显然其中一根为1，另一根为

c

a

…（7分）
∴a＞0，c＜0，
∴

c

a

＜1．
∵a＞b＞c，且b=-a-c
∴a＞-a-c＞c．
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

，
∴

3

2

＜|x₁-x₂|=1-

c

a

＜3…．（9分）
设?（x）=a（x-x₁） （x-x₂）=a（x-1）（x-

c

a

）．…．（10分）
由已知?（m₁）=-a或?（m₂）=-a，不妨设?（m₁）=-a，
则a（m₁-1）（m₁-

c

a

）=-a＜0…（11分）
∴

c

a

＜m₁＜1，
∴m₁+3＞

c

a

+3，…（12分）
∴m₁+3＞1．又?（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴?（m₁+3）＞?（1）=0．…（13分）
同理，当?（m₂）=-a时有?（m₂+3）＞0
∴?（m₁+3）或?（m₂+3）中至少有一个正数．…（14分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，参数范围的讨论与求解，转化困难，难度较大．