Question

18．下列命题正确的个数是（　　）
①命题“?x₀∈R，x₀²+1＞3x₀”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”；
②已知a=log₄7，b=log₂3，c=0.2^-0.6，则a＜b＜c；
③“平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角”的充分必要条件是“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0”；
④已知数列{a_n}为等比数列，则a₁＜a₂＜a₃是数列{a_n}为递增数列的必要条件．

• A． 3个
• B． 4个
• C． 1个
• D． 2个

Answer 1

分析 ①由含有一个量词的命题的否定形式，即可判断；
②利用指数式、对数式，确定各值的范围，即可判断；
③“平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角”的充分必要条件是“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线”，可得结论；
④根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答 解：①命题“?x₀∈R，x₀²+1＞3x₀”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”，正确；
②∵a=log₄7，b=log₂3=log₄9，∴a＜b＜2，∵c=0.2^-0.6=5^0.6＞5^0.5＞2，∴a＜b＜c，正确；
③“平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角”的充分必要条件是“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线”，不正确；
④∵{a_n}是等比数列，∴若“a₁＜a₂＜a₃”，则“数列{a_n}是递增数列”，充分性成立，若“数列{a_n}是递增数列”，则“a₁＜a₂＜a₃”成立，即必要性成立，故“a₁＜a₂＜a₃”是“数列{a_n}是递增数列”的充要条件，不正确．
故选：D．

点评 本题考查简易逻辑的基础知识，考查命题的否定，大小比较，充分必要条件的判断，同时考查函数值的大小比较，属于中档题．