Question

10．已知函数y=$\frac{1+sinx-cosx}{1+sinx+cosx}$．
（1）求函数的定义域；
（2）在判断该函数的奇偶性时，某同学的解法如下：
y=$\frac{1+sinx-cosx}{1+sinx+cosx}$=$\frac{2si{n}^{2}\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}{2co{s}^{2}\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}}$=$\frac{2sin\frac{x}{2}（sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）}{2cos\frac{x}{2}（sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）}$=tan$\frac{x}{2}$
∵函数y=tan$\frac{x}{2}$是奇函数，
∴函数y=$\frac{1+sinx-cosx}{1+sinx+cosx}$是奇函数．
参照（1）的结果，判断该同学的结论是否正确，如果你认为不正确，试指出该同学得出错误结论的原因，并给出正确的结论．

Answer 1

分析 （1）由y解析式分母不为0，求出x的范围，即为函数的定义域；
（2）该同学的结论错误，出错的原因是：由（1）求出的定义域不关于原点对称，故y为非奇非偶函数．

解答 解：（1）函数y满足：1+sinx+cosx≠0，
∴1+$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≠0，
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）≠-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴x+$\frac{π}{4}$≠2kπ-$\frac{3π}{4}$且x+$\frac{π}{4}$≠2kπ-$\frac{π}{4}$，x∈Z，
∴x≠2kπ-π且x≠2kπ-$\frac{π}{2}$，x∈Z，
则函数的定义域为{x|x≠2kπ-π且x≠2kπ-$\frac{π}{2}$，x∈Z}；
（2）该同学结论不正确，
理由为：显然自变量x不关于原点对称，故y为非奇非偶函数．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．