Question

3．如图1所示，在矩形ABCD中，AB=2，AE=$\frac{1}{4}$AB．若将矩形ABCD沿对角线AC折起一部分后（如图2），D点在平面ABC的正投影恰好能与E重合．
（Ⅰ）求线段AD的长；
（Ⅱ）线段CD（包括端点）上是否存在一点F，使得二面角E-BF-D的大小为30°，若存在，求$\frac{DF}{CD}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）根据直角三角形的射影定义进行求解即可
（Ⅱ）建立空间坐标系，设出F的坐标，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法结合二面角的余弦值求出F的位置即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）∵在矩形ABCD中，AB=2，AE=$\frac{1}{4}$AB=$\frac{1}{2}$，D点在平面ABC的正投影恰好能与E重合，
∴DE⊥平面ABC，DE⊥AB，
则在直角三角形ABD中，AD²=AE•AB=$\frac{1}{2}×2$=1，即AD=1
则线段AD的长为1；
（Ⅱ）过B作ABC的直线，
建立以B为坐标原点，BC，BA分别为x，y轴的空间直角坐标系如图：
则BE=$\frac{3}{2}$，DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BC=AD=1
则B（0，0，0），E（0，$\frac{3}{2}$，0），D（0，$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
C（1，0，0），
设$\overrightarrow{DF}$=λ$\overrightarrow{CD}$=λ（-1，$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设F（x，y，z），
则（x，y，z）=（-λ，$\frac{3}{2}$λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ）+（-1，$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=（-1+λ，$\frac{3}{2}$（λ+1），$\frac{\sqrt{3}}{2}$（λ+1）），
则$\overrightarrow{BE}$=（0，$\frac{3}{2}$，0），$\overrightarrow{BF}$=（-1+λ，$\frac{3}{2}$（λ+1），$\frac{\sqrt{3}}{2}$（λ+1）），$\overrightarrow{BD}$=（0，$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面EBF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BE}$=$\frac{3}{2}$y=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BF}$=（-1+λ）x+$\frac{3}{2}$（λ+1）y+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（λ+1）z=0，
即y=0，（-1+λ）x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（λ+1）z=0，
令z=2，则x=$\frac{\sqrt{3}（1+λ）}{1-λ}$，即$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}（1+λ）}{1-λ}$，0，2），
设平面BFD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BF}$=（-1+λ）x+$\frac{3}{2}$（λ+1）y+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（λ+1）z=0，）），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BD}$=$\frac{3}{2}$y+$\frac{\sqrt{3}}{2}$z=0，
令z=$\sqrt{3}$，则y=-1，x=0，
即$\overrightarrow{m}$=（0，-1，$\sqrt{3}$），
则|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+3}•\sqrt{4+\frac{3（1+λ）^{2}}{（1-λ）^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
平方得4+$\frac{3（1+λ）^{2}}{（1-λ）^{2}}$=4，得$\frac{3（1+λ）^{2}}{（1-λ）^{2}}$=0，即λ=-1，
即$\overrightarrow{DF}$=-$\overrightarrow{CD}$，即$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{DC}$，即F与C重合时，满足条件．
此时$\frac{DF}{CD}$=1．

点评 本题主要考查面面垂直判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．