Question

偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x，则关于x的方程f（x）=（

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）^x在x∈[0，4]上解的个数是

 

．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知条件推导函数f（x）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解．

解答： 解：∵f（x-1）=f（x+1）∴f（x）=f（x+2），
∴原函数的周期T=2．                         
又∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）．
又∵x∈[0，1]时，f（x）=x，函数的周期为2，
∴原函数的对称轴是x=1，且f（-x）=f（x+2）．
分别画出f（x）的图象和y=（

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）^x的图象，如图．
∴由图象可以交点的个数为4个，
∴f（x）=(

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)^x在x∈[0，4]上解的个数是4个．
故答案为：4

点评：本题考查函数的性质，体现了函数与方程思想，数形结合思想，转化思想，属于基础题．