【题目】如图,已知椭圆的左、右顶点为
,
,上、下顶点为
,
,记四边形
的内切圆为
.
(1)求圆的标准方程;
(2)已知圆的一条不与坐标轴平行的切线
交椭圆
于P,M两点.
(i)求证:;
(ii)试探究是否为定值.
【答案】(1);(2)(i)详见解析;(ii)是定值
.
【解析】
(1)由已知可得:直线的方程为:
,利用四边形
的内切圆为
可求得内切圆的半径
,问题得解。
(2)(i)设切线,联立直线方程与椭圆方程可得:
,即可求得
,所以
,问题得证。
(ii)①当直线的斜率不存在时,
,②当直线
的斜率存在时,设直线
的方程为:
,联立直线方程与椭圆方程可得:
,即可求得:
,同理可得:
,问题得解。
(1)因为,
分别为椭圆
的右顶点和上顶点,则
,
坐标分别为
,可得直线
的方程为:
则原点O到直线的距离为
,则圆
的半径
,
故圆的标准方程为
.
(2)(i)可设切线,
将直线的方程代入椭圆
可得
,由韦达定理得:
则
,
又与圆
相切,可知原点O到
的距离
,整理得
,
则,所以
,故
.
(ii)由知
,
①当直线的斜率不存在时,显然
,此时
;
②当直线的斜率存在时,设直线
的方程为:
代入椭圆方程可得,则
,
故,
同理,
则.
综上可知:为定值.
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【题目】下列说法正确的是( ).
A.命题,
,则
为
,
B.“若,则
”的逆命题为真命题
C.若“”、“
”为真命题,则“
”为假命题
D.王昌龄《从军行》中两句诗“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,后一句中“攻破楼兰”是“回到家乡”的必要条件
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【题目】某工厂共有名工人,已知这
名工人去年完成的产品数都在区间
(单位:万件)内,其中每年完成
万件及以上的工人为优秀员工,现将其分成
组,第
组、第
组、第
组、第
组、第
组对应的区间分别为
,
,
,
,
,并绘制出如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值,并求去年优秀员工人数;
(2)选取合适的抽样方法从这名工人中抽取容量为
的样本,求这
组分别应抽取的人数;
(3)现从(2)中人的样本中的优秀员工中随机选取
名传授经验,求选取的
名工人在同一组的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,将曲线向左平移2个单位,再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的
,得到曲线
,以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的参数方程;
(2)直线的参数方程为
(
为参数),求曲线
上到直线
的距离最短的点的直角坐标.
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【题目】某网络平台从购买该平台某课程的客户中,随机抽取了100位客户的数据,并将这100个数据按学时数,客户性别等进行统计,整理得到如表:
学时数 |
| ||||||
男性 | 18 | 12 | 9 | 9 | 6 | 4 | 2 |
女性 | 2 | 4 | 8 | 2 | 7 | 13 | 4 |
(1)根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,结果保留小数点后两位);
(2)从这100位客户中,对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人,再从这7人中随机抽取2人,求这2人购买的学时数都不低于15的概率.
(3)将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”,25学时以下者视,为“非十分爱好该课程者”.请根据已知条件完成以下列联表,并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关?
非十分爱好该课程者 | 十分爱好该课程者 | 合计 | |
男性 | |||
女性 | |||
合计 | 100 |
附:,
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知直线的参数方程为
(t为参数),以坐标原点为极点,
正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程是
.
(1)写出直线的极坐标方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)若点是曲线
上的动点,求
到直线
距离的最小值,并求出此时
点坐标.
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【题目】某小学要求下午放学后的17:00-18:00接学生回家,该学生家长从下班后到达学校(随机)的时间为17:30-18:30,则该学生家长从下班后,在学校规定时间内接到孩子的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评,该公司随机调查了100颗芯片,并将所得统计数据分为五个小组(所调查的芯片得分均在
内),得到如图所示的频率分布直方图,其中
.
(1)求这100颗芯片评测分数的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替).
(2)芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试,该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。若3个工程手机的评分都达到11万分,则认定该芯片合格;若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分,则认定该芯片不合格;若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分,则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测,二测时,2个工程手机的评分都达到11万分,则认定该芯片合格;2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分,手机公司将认定该芯片不合格.已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立,并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致(以频率作为概率).每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元,每颗芯片若被认定为合格或不合格,将不再进行后续测试,现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元,试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片?请说明理由.
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