Question

如图，已知直线l：x=my+1过椭圆的右焦点F，抛物线：的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E．（1）椭圆C的方程；（2）直线l交y轴于点M，且，当m变化时，探求λ₁+λ₂的值是否为定值？若是，求出λ₁+λ₂的值，否则，说明理由；（3）接AE、BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点．

Answer 1

(1)
(2) 当m变化时，λ₁+λ₂的值为定值；
(3)当m变化时，AE与BD相交于定点

试题分析：（1）知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，
抛物线的焦点坐标，∴∴b²=3
∴a²=b²+c²=4∴椭圆C的方程  4分
（2）知m≠0，且l与y轴交于，
设直线l交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由-  5分
∴△=（6m）²+36（3m²+4）=144（m²+1）＞0
∴  6分
又由
∴
同理-  7分
∴
∵
∴
所以，当m变化时，λ₁+λ₂的值为定值；  9分
（3）：由（2）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（4，y₁），E（4，y₂）
方法1）∵   10分
当时，=
=  12分
∴点在直线l_AE上，  13分
同理可证，点也在直线l_BD上；
∴当m变化时，AE与BD相交于定点  14分
方法2）∵  10分
-  11分
=  12分
∴k_EN=k_AN∴A、N、E三点共线，
同理可得B、N、D也三点共线；  13分
∴当m变化时，AE与BD相交于定点．  14分
点评：解决的关键是对于椭圆的几何性质的表示，以及联立方程组的思想结合韦达定理来求解，属于基础题。