Question

已知函数f（x）=lnx-kx+1（k∈R）
（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（Ⅲ）证明：

ln2

3

+

ln3

4

+

ln4

5

+…+

lnn

n+1

＜

n(n-1)

4

（n∈N^*且n＞1）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

1

x

-1．能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为f（

1

k

），由此能确定实数k的取值范围．
（Ⅲ）由（2）知，当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即lnx＜x-1在x∈[2，+∞）上恒成立，由此能够证明

ln2

3

+

ln3

4

+

ln4

5

+…+

lnn

n+1

＜

n(n-1)

4

（n∈N^*且n＞1）

解答： 解：（Ⅰ）易知f（x）的定义域为（0，+∞），
又f′（x）=

1

x

-1
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；
当x＞1时，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．

（Ⅱ）当k≤0时，f（1）=1-k＞0，不成立，
故只考虑k＞0的情况
又f′（x）=

1

x

-k
当k＞0时，当0＜x＜

1

k

时，f′（x）＞0；
当x＞

1

k

时，f′（x）＜0
在(0，

1

k

)上是增函数，在(

1

k

，+∞)时减函数，
此时f(x)max=f(

1

k

)=-lnk
要使f（x）≤0恒成立，只要-lnk≤0 即可
解得：k≥1．

（Ⅲ）当k=1时，
有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，
即lnx＜x-1在x∈（1，+∞）上恒成立，
令x=n²，则lnn²＜n²-1，
即2lnn＜（n-1）（n+1），
∴

lnn

n+1

＜

n-1

2

（n∈N^*且n＞1）
∴

ln2

3

+

ln3

4

+

ln4

5

+…+

lnn

n+1

＜

1

2

+

2

2

+

3

2

+…+

n-1

2

=

n(n-1)

4

即：

ln2

3

+

ln3

4

+

ln4

5

+…+

lnn

n+1

＜

n(n-1)

4

（n∈N^*且n＞1）成立．

点评：本题考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，不等式的证明．考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．