Question

已知函数f（x）=

2x

x-1

，x∈（1，+∞）
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．
（2）当x∈[2，4]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）x∈（1，+∞）是单调递减函数，利用定义法进行证明．
（2）由已知m＜

2x

x-1

-2x=

-2x2+4x

x-1

恒成立，设h（x）=

-2x2+4x

x-1

，则m＜[h（x）]_min，由此利用导数性质能求出结果．

解答： 解：（1）函数f（x）x∈（1，+∞）是单调递减函数．
证明如下：任取1＜x₁＜x₂，
∵f（x）=

2x

x-1

，
∴f（x₁）-f（x₂）=

2x1

x1-1

-

2x2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
∵1＜x₁＜x₂
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函数f（x）x∈（1，+∞）是单调递减函数．
（2）∵当x∈[2，4]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，
∴m＜

2x

x-1

-2x=

-2x2+4x

x-1

恒成立，
设h（x）=

-2x2+4x

x-1

，则m＜[h（x）]_min，
∴h′（x）=

-2x2+8x-8

(x-1)2

=

-2(x-2)2

(x-1)2

，
∵x∈[2，4]，∴h′（x）＜0，
∴h（x）在[2，4]上是减函数，
∴h（x）的值域为[h（4），h（2）]，即[-

16

3

，0]，
∴m＜-

16

3

．

点评：本题考查函数的单调性的判断与证明，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．