Question

如图，在三棱锥 S-ABC中，AC⊥SA，AC⊥AB，SA=SB=AB=2，AC=1．
（1）求异面直线AB与SC所成的角的余弦值；
（2）在线段AB上求一点D，使CD与平面SAC为45°．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与SC所成的角的余弦值．
（2）设AD=t，D（t，0，0），

CD

=（t，-1，0），求出平面ASC的法向量，由CD与平面SAC为45°，利用向量法能求出AD=

2

．

解答： 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，
建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（2，0，0），
S（-1，0，

3

），C（0，1，0），

AB

=（2，0，0），

SC

=（1，1，-

3

），
cos＜

AB

，

SC

＞=

2

2• 5

=

5

5

，
∴异面直线AB与SC所成的角的余弦值为

5

5

．
（2）设AD=t，D（t，0，0），

CD

=（t，-1，0），

AS

=（-1，0，

3

），

AC

=（0，1，0），
设平面ASC的法向量

n

=（x，y，z），
则

AS • n =-x+ 3 z=0 AC • n =y=0

，
取x=

3

，得

n

=（

3

，0，1），
∵CD与平面SAC为45°，
∴cos＜

CD

，

n

＞=

3 t

t2+1 ×2

=cos45°=

2

2

，
解得t=

2

，或t=-

2

（舍），
∴AD=

2

．

点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．