Question

已知A（2，0），B（0，2），C（cosθ，sinθ），O为坐标原点．
（1）

AC

•

BC

=-

1

3

，求sinθcosθ的值；
（2）若|

OA

+

OC

|=

7

，θ∈（0，

π

2

）求

OB

与

OC

的夹角．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,数量积表示两个向量的夹角

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）用坐标表示

AC

、

BC

，求出

AC

•

BC

，化简即得sinθcosθ的值；
（2）求出|

OA

+

OC

|，化简得出θ的值；求出

OB

与

OC

的所成的角＜

OB

，

OC

＞．

解答： 解：（1）∵

AC

=（cosθ-2，sinθ），

BC

=（cosθ，sinθ-2），
∴

AC

•

BC

=（cosθ-2）cosθ+sinθ（sinθ-2）
=cos²θ-2cosθ+sin²θ-2sinθ
=1-2（c0sθ+sinθ）=-

1

3

，
∴cosθ+sinθ=

2

3

，
两边平方得：1+2sinθcosθ=

4

9

，
∴sinθcosθ=-

5

18

；
（2）∵

OA

+

OC

=（cosθ+2，sinθ），
∴|

OA

+

OC

|=

(cosθ+2)2+sin2θ

=

5+4cosθ

=

7

；
两边平方得：cosθ=

1

2

，
∵θ∈（0，

π

2

），
∴θ=

π

3

；
∴

OC

=（

1

2

，

3

2

），
∴

OB

•

OC

=0×

1

2

+2×

3

2

=

3

；
∴cos＜

OB

，

OC

＞=

OB • OC

| OB || OC |

=

3

2×1

=

3

2

，
∴＜

OB

，

OC

＞=

π

6

．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应利用向量的数量积求向量的模长与向量的夹角，是综合性题目．