Question

2．已知A，B，C，D是球面上不共面的四点，AB=AC=$\sqrt{3}，BD=CD=\sqrt{2}，BC=\sqrt{6}$，平面ABC⊥平面BCD，则此球的体积为$\frac{{8\sqrt{2}}}{3}π$．

Answer 1

分析 球心O在平面ABC中的射影为BC的中点O′，求出求的半径，即可求出球的体积．

解答 解：由题意，AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
∵平面ABC⊥平面BCD，
∴球心O在平面ABC中的射影为BC的中点O′．
DO′=$\sqrt{2-\frac{6}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
设OO′=h，则${h}^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}$=$（\frac{\sqrt{2}}{2}+h）^{2}$，
∴h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，R=$\sqrt{2}$，
∴球的体积为$\frac{{8\sqrt{2}}}{3}π$．
故答案为$\frac{{8\sqrt{2}}}{3}π$．

点评 本题考查球的体积的计算，考查面面垂直，正确求出球的半径是关键．