Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁为菱形，∠A₁AB=45°，四边形BCC₁B₁为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3．
（1）求证：AB₁⊥平面A₁BC；
（2）求三棱锥C-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得BC⊥AB，CB⊥BB₁，从而CB⊥平面AA₁B₁B，进而CB⊥AB₁，又AB₁⊥A₁B，由此能证明AB₁⊥平面A₁BC．
（2）过B作BD⊥A₁B₁于D，由已知得BD⊥平面A₁B₁C₁，由此能求出三棱锥C-A₁B₁C₁的体积．

解答： （1）证明：在△ABC中，AC=5，AB=4，BC=3，
满足AC²=AB²+BC²，
∴∠ABC=90°，∴BC⊥AB，
又∵四边形BCC₁B₁为矩形，∴CB⊥BB₁，
又BB₁?平面AA₁B₁B，AB?平面AA₁B₁B，BB₁∩AB=B，
∴CB⊥平面AA₁B₁B，
又∵AB₁?平面AA₁B₁B，∴CB⊥AB₁，
又∵四边形A₁ABB₁为菱形，∴AB₁⊥A₁B，
又CB?平面AA₁B₁B，A₁B?平面A₁BC，CB∩A₁B=B，
∴AB₁⊥平面A₁BC．
（2）解：过B作BD⊥A₁B₁于D，
由（1）得CB⊥平面AA₁B₁B，
∴C₁B₁⊥平面AA₁B₁B，∴C₁B₁⊥BD，
∴BD⊥平面A₁B₁C₁，
∵四边形A₁ABB₁为菱形，∠A₁AB=45°，
∴2BD²=16，解得BD=2

2

，
V C-A1B1C1=

1

3

×

1

2

A1B1•B1C1•BD=

1

3

×

1

2

×4×3×2

2

=4

2

，
∴三棱锥C-A₁B₁C₁的体积为4

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．