Question

定义在（0，

π

2

）上的函数f（x）满足f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，设a=

2 3

3

f（

π

3

），b=

2

f（

π

4

），c=2f（

π

6

），则a，b，c的大小关系是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用,三角函数的图像与性质

分析：设g（x）=

f(x)

sinx

，利用导数判断出g（x）单调性，根据函数的单调性即可得到大小．

解答： 解：由于f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，
则设g（x）=

f(x)

sinx

，则有g′（x）＞0，
则g（x）在（0，

π

2

）上递增，
a=

2 3

3

f（

π

3

）=

f( π 3 )

sin π 3

，b=

2

f（

π

4

）=

f( π 4 )

sin π 4

，c=2f（

π

6

）=

f( π 6 )

sin π 6

．
由于0＜

π

6

＜

π

4

＜

π

3

＜

π

2

，即有g（

π

6

）＜g（

π

4

）＜g（

π

3

），
则有c＜b＜a．
故答案为：c＜b＜a．

点评：本题考查函数的导数的运用：求单调性，考查单调性的运用：比较大小，注意运用导数的运算法则是解题的关键．