Question

某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年维修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．
（Ⅰ）若扣除投资和各种维修费，则从第几年开始获取纯利润？
（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以47万元出售该楼； ②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？

Answer 1

考点：数列的应用

专题：应用题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设第n年获取利润为y万元，n年共收入租金30n万元．付出装修费共n+

n(n-1)

2

×2=n2，付出投资81万元，由此可知利润y=30n-（81+n²），由y＞0能求出从第几年开始获取纯利润．
（Ⅱ）①利用基本不等式进行求解，②纯利润总和最大时，以10万元出售，利用二次函数的性质求出最大利润．

解答： 解：（Ⅰ）设第n年获取利润为y万元
n年共收入租金30n万元，付出维修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，
共n+

n(n-1)

2

×2=n2
因此利润y=30n-（81+n²），------------（4分）
令y＞0解得：3＜n＜27，
所以从第4年开始获取纯利润．------------（6分）
（Ⅱ）年平均利润W=

30n-(81+n2)

n

=30-

81

n

-n≤30-2

81

=12（当且仅当

81

n

=n，即n=9时取等号）
所以9年后共获利润：12×9+47=155（万元）------------（8分）
利润y=30n-（81+n²）=-（n-15）²+144
所以15年后共获利润：144+10=154 （万元）------------（10分）
方案①获利多且时间比较短，所以选择方案①．-------------（12分）

点评：本题考查数列的性质和应用，同时考查了利基本不等式求函数的最值，解题时要认真审题，仔细解答．