Question

8．已知实数x、y满足$\sqrt{x+3y}$$•\sqrt{x-3y}$=3，则x-|y|的最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得x+3y≥0，x-3y≥0，即有x²-9y²=9（x＞0），令x-|y|=t，即有|y|=x-t，代入双曲线的方程，运用判别式非负，解不等式即可得到最小值．

解答 解：由$\sqrt{x+3y}$$•\sqrt{x-3y}$=3，可得
x+3y≥0，x-3y≥0，即有x²-9y²=9（x＞0），
令x-|y|=t，即有|y|=x-t，
可得y²=（x-t）²，代入x²-9y²=9（x＞0），
即有8x²-18tx+9t²+9=0，
由x＞0可得t＞0，
由△=324t²-32（9t²+9）≥0，
解得t²≥8，解得t≥2$\sqrt{2}$．
即有x=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，y=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$，x-|y|取得最小值2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查最值的求法，注意运用转化思想和二次方程的判别式法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．